Teste da reta vertical

Seja uma curva definida no plano $x$ $y$,a curva irá representar uma função se, somente se, nenhuma reta vertical cortar a curva em mais de um ponto.

O teste da reta vertical implica que função $f(x)$ observada junto a reta $x=a$ irá resultar em um único ponto $f(a)=b$, ou seja, interceptará a curva somente em $(a, f(a))$, caso contrário a curva não representa uma função.

(1) Qualquer reta vertical intercepta a curva em um único ponto, ou seja, (1) representa uma função

(2) Por usa vez, existem múltiplos pontos de intercepção $x=a$, ou seja, a curva (2) não representa uma função.

EX: verificar quais curvas a seguir representam funções.

É uma função

não é uma função

É uma função

Representar os pontos e intervalos

Existem diversas formas de representar intervalos e pontos, vamos relembrar algumas dessas formas.

• Intervalo fechado: Consiste em uma região numérica limitada a dois pontos extremos, inclusive é representado por colchetes ou intervalos de reta com extremos fechados.

EX: $[-1, 1]$ é o intervalo fechado limitado aos valores $-1$ e $1$, inclusive representado em reta da seguinte forma:

Note que -1 e 1 pertencem ao intervalo $I$

• Intervalo aberto: regiao numérica similar ao intervalo fechado, porém seus extremos não estão inclusos no intervalo, representado por parenteses, $(-1, 1)$

EX: é um intervalo $I$ que contém todos os números reais entre $-1$ e $1$, exceto os próprios $-1$ e $1$.

Note que $-1, 1 \notin I$

• Intervalo semiaberto: intervalo que contém um de seus extremos, mas não contém o outro.

EX: (-1, 1], a parte inclusiva é denotada por colchetes e a não inclusa por parenteses.

Note que $-1 \lt x \le 1$

• Intervalos descontínuos: quando existem um ou mais pontos a dentro do intervalo $I$, tal que $d \notin I$. É representado por uma restrição explicita.

$$x \in I | x \ne a$$

• EX intervalo $I = [-1, 1]$ porém excluindo zero.

$$\{x \in [-1, 1] | x \ne 0\}$$

EXEMPLOS

• a) $[-1, 1) = [-1, 1[$
• b) $(-1, 1] = ]-1, 1]$
• c) $(-1, 1) = ]-1, 1[$
• d) $[-\xcancel\infty, 1] = (-\infty, 1]$
• e) $[-1, \xcancel\infty] = [-1, \infty)$

Representações de funções na forma álgebrica

Em geral é inviável ou ineficaz representar uma função na forma gráfica. Por esse motivo, opta-se por realizar uma representação algébrica de uma função, como a seguir:

• a) $f(x) = ax + b$, $a$ e $b$ são números reais.
• b) $f(x) = \sin(x)$, $\cos(x)$, $\tan(x)$
• c) $f(x) = \sqrt x$
• d) $f(x) = \frac{1}{x}$

OBS: note que algumas dessas funções podem não estar definidas para algum(ns) números reais.

Funções definidas por partes

São funções que são definidas algebricamente de maneira diferente para um ou mais intervalos. Uma função definida por partes não precisa ser continua.

EX: $f$ é definida por partes tal que:

$$f(x) = \begin{cases} 1-x, x \le -1 \\ x^2, -1 > x \end{cases}$$

EX: a função módulo é, ou valor absoluto é definida por partes da seguinte maneira:

$$f(x) = |x| = \begin{cases} x, x \ge 0 \\ -x, x < 0 \end{cases}$$