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Digitado por $\color{black} \text{Diefesson de Sousa Silva - 471942}$

Limites e derrivadas

Anteriormente definimos o limite de uma função como uma estimativa de $L$ do valor $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$, tal que $L$ representa o valor da função na vizinhança ou próximo de $a$. É importante frisar que não necessariamente:

1. $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)$.

2. $f(a)$ pode ser calculada.

Vamos estimar o limite das funções a seguir:

a) determinar $\lim_{x \rightarrow a}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)$

Veja que nesse caso, não se pode calcular o valor da função diretamente em $x = 0$, pois há indeterminação.

OBS: a função $\sin(x)$ ou qualquer outra função trigonométrica só pode ser calculada para valores em radianos. Ou seja:

$ \sin(0) = \sin(0 \text{ rad})
\sin(\pi) = \sin(\pi \text{ rad}) = \sin(180\degree) $

Observando a função $\frac{\sin(x)}{x}$, na vizinhança de $x = 0$ obtém-se a tabela a seguir:

$\bold{x < 0}$	$\bold{f(x)}$	$\bold{x > 0}$	$\bold{f(x)}$
$-1$	$0,841$	$1$	$0,841$
$-0,5$	$0,958$	$0,5$	$0,958$
$-0,2$	$0.993$	$0,2$	$0,993$
$-0,1$	$0,998$	$0,1$	$0,998$
$-0,01$	$0,999$	$0,01$	$0,999$

Observe que o limite de $f(x)$ se aproxima de $1$ a medida que $x \rightarrow 0$, ou seja:

$\lim_{x \rightarrow a}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right) = 1$

Exercício 1

Estime o limite da função:

$f(x) = \frac{\cos(x)}{2x}$

A medida que $x$ se aproximada de 0, ou seja:

$\lim_{x \rightarrow a}\left(\frac{cos(s)}{2x}\right)$

$\bold{x < 0}$	$\bold{f(x)}$	$\bold{x > 0}$	$\bold{f(x)}$
$-1$	$-0,27$	$1$	$0,27$
$-0,5$	$-0,877$	$0,5$	$0,877$
$-0,2$	$-2,45$	$0,2$	$2,45$
$-0,1$	$-4,97$	$0,1$	$4,97$
$-0,01$	$-49,99$	$0,01$	$49,99$

Limites laterais

Quando observamos a função $f(x) = \frac{cso(x)}{2x}$, percebemos que os valores da função são diferentes - $(+)$positivos ou $(-)$ negativos - dependendo do caminho tomado($x < 0$ ou $x > 0$). Formalizaremos o limite pela esquerda ou pela direita do número de referência $a$ como limites laterais.

DEFINIÇÃO 1

Escrevemos os limites laterais na forma.

1. $\lim_{x \rightarrow a^+} f(x) = L_1$, quando $x$ tende a $a$ por valores maiores que $a$ ou a direita de $a$.

2. $\lim_x{x \rightarrow a^-} f(x) = L_2$, quando $x$ tende a $a$ por valores menores que $a$ ou a esquerda de $a$.

DEFINIÇÃO 2

Dizemos que o limite de uma função em torno de $a$ é $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$, se, e somente se, seus limites laterais forem iguais, ou seja:

$\lim_{x \rightarrow a^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow a^+} f(x) = L$

Limites infinitos

Dizemos que caso o limite de uma função no ponto $x = a$ cresça positivamente ou negativamente de forma indefinida, seu limite será infinito, ou seja:

$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = +\infty \text{ ou } \lim_{x \rightarrow a} f(x) = -\infty$

Dizemos nesse caso que:

“O limite de $f(x)$, quando $x$ tende a $a$ é mais infinito ou menos infinito.”

Exercício

Determine os limites laterais das funções:

1) $\frac{1}{x^2}$, $x \rightarrow 0$

R: $\lim_{x \rightarrow a} \left(\frac{1}{x^2}\right) = +\infty$, para os dois lados.

$\bold{x < 0}$	$\bold{\frac{1}{x^2}}$	$\bold{x > 0}$	$\bold{\frac{1}{x^2}}$
$-1$	$1$	$1$	$1$
$-0,5$	$4$	$0,5$	$4$
$-0,2$	$25$	$0,2$	$25$
$-0,1$	$100$	$0,1$	$100$
$-0,01$	$10000$	$0,01$	$10000$

2) $\frac{1}{-x^2}$, $x = 0$

R: $\lim_{x \rightarrow a} \left(\frac{1}{x^2}\right) = -\infty$, para os dois lados.

$\bold{x < 0}$	$\bold{\frac{1}{-x^2}}$	$\bold{x > 0}$	$\bold{\frac{1}{-x^2}}$
$-1$	$-1$	$1$	$-1$
$-0,5$	$-4$	$0,5$	$-4$
$-0,2$	$-25$	$0,2$	$-25$
$-0,1$	$-100$	$0,1$	$-100$
$-0,01$	$-10000$	$0,01$	$-10000$