aula anterior | próxima aula

Digitado por $\color{black} \text{Diefesson de Sousa Silva - 471942}$

Cálculos usando propriedades dos limites

Supondo que $c$ seja uma constante e os limites:

$\lim_{x \rightarrow a} f(x) \text{ e } \lim_{x \rightarrow a} g(x)$

Existam, e então seguem as propriedades

1. soma

$ \lim_{x \rightarrow a}(f(x) + g(x)) = \lim_{x \rightarrow a} f(x) + \lim_{x \rightarrow a} g(x) $

2. diferença

$ \lim_{x \rightarrow a}(f(x) - g(x)) = \lim_{x \rightarrow a} f(x) - \lim_{x \rightarrow a} g(x) $

3. produto por escalar

$ \lim_{x \rightarrow a}(c \cdot f(x)) = c \cdot \lim_{x \rightarrow a} f(x) $

4. produto

$ \lim_{x \rightarrow a}(f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \rightarrow a} f(x) \cdot \lim_{x \rightarrow a} g(x) $

5. quociente

$ \lim_{x \rightarrow a}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{\lim_{x \rightarrow a} f(x)}{\lim_{x \rightarrow a} g(x)} $

Se $\lim_{x \rightarrow a} g(x) \ne 0$

Em decorrência das propriedades $1$ a $5$, são observadas outras propriedades a seguir:

6. potência

$ \lim_{x \rightarrow a}(f(x)^n) = \lim_{x \rightarrow a}(f(x))^n $

Limites especiais

7.

$\lim_{x \rightarrow a} c = c$

8.

$\lim_{x \rightarrow a} x = a$

9.

$\lim_{x \rightarrow a} x^n = a^n, n \ge 0$

10.

$ \lim_{x \rightarrow a} \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{a}, n \ge 0 $

11.

$ \lim_{x \rightarrow a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \rightarrow a} f(x)} $

Se o limite for não negativo e $n$ inteiro positivo.

EX: use as propriedades para encontrar os limites das funções a seguir.

1)

$\lim_{x \rightarrow 5}(2x^2 - 3x + 4)$

R:

$ \lim_{x \rightarrow 5}(2x^2 - 3x) + \lim_{x \rightarrow 5} 4 $

$ \lim_{x \rightarrow 5}(2x^2) - \lim_{x \rightarrow 5} (3x) + \lim_{x \rightarrow 5} 4 $

$ 2\cdot \lim_{x \rightarrow 5}(x^2) - 3 \cdot \lim_{x \rightarrow 5} x + \lim_{x \rightarrow 5} 4 $

$ 2\cdot (\lim_{x \rightarrow 5}x)^2 - 3 \cdot \lim_{x \rightarrow 5} x + \lim_{x \rightarrow 5} 4 $

$ 2 \cdot 5^2 - 3 \cdot 5 + 4 $

$ 2 \cdot 25 - 3 \cdot 5 + 4 $

$ 50 - 15 + 4 $

$39$

2)

$ \lim_{x \rightarrow -2} \left( \frac{x^3 + 2x^2 - 1} {5 - 3x} \right) $

R:

$ \frac {\lim_{x \rightarrow -2}(x^3 + 2x^2 - 1)} {\lim_{x \rightarrow -2}(5 - 3x)} $

$ \frac {\lim_{x \rightarrow -2}(x^3) + \lim_{x \rightarrow -2}(2x^2) - \lim_{x \rightarrow -2} 1} {\lim_{x \rightarrow -2} 5 - \lim_{x \rightarrow -2}(3x)} $

$ \frac {\lim_{x \rightarrow -2}(x^3) + 2 \cdot \lim_{x \rightarrow -2}(x^2) - \lim_{x \rightarrow -2} 1} {\lim_{x \rightarrow -2} 5 - 3 \cdot \lim_{x \rightarrow -2} x} $

$ \frac {(\lim_{x \rightarrow -2}x)^3 + 2 \cdot (\lim_{x \rightarrow -2}x)^2 - \lim_{x \rightarrow -2} 1} {\lim_{x \rightarrow -2} 5 - 3 \cdot \lim_{x \rightarrow -2} x} $

$ \frac {(-2)^3 + 2 \cdot (-2)^2 - 1} {5 - 3 \cdot (-2)} $

$ \frac {-8 + 2 \cdot 4 - 1} {5 - 3 \cdot (-2)} $

$ \frac {-8 + 8 -1} {5 + 6} $

$ \frac{-1}{11} $

Propriedade da substituição direta

Se $f(x)$ for uma função polinomial ou racional e $a$ estiver no domínio de $f(x)$, então:

$\lim_{x \rightarrow a}f(x) = f(a)$

Uma outra propriedade vem á tona quando analisamos funções que possuam indeterminação. Veja o caso da função:

$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$

Se fizermos $\lim_{x \rightarrow 1}\left(\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\right)$, não é possível usar substituição direta, por conta da indeterminação.

Nesse caso devemos modificar a função $f(x)$ por $\color{red} \text{fatoração}$. Então:

$ \lim_{x \rightarrow 1}\left(\frac{x^2 - 1}{x - 1}\right) = \lim_{x \rightarrow 1}\left(\frac{(x + 1)\cancel{(x - 1)}}{\cancel{x - 1}}\right) = \lim_{x \rightarrow 1}(x + 1) = 2 $

Logo:

Se $f(x) = g(x)$ quando $x \ne a$, então:

$ \lim_{x \rightarrow a} f(x) = \lim_{x \rightarrow a} g(x) $

Desde que o limite exista.

Vale lembrar que:

$ \lim_{x \rightarrow a} f(x) = L \text{, se, e somente se,}
\lim_{x \rightarrow a^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow a^+} f(x) $

Outro teorema importantediz que: se $f(x) \le g(x)$, quando $x$ está próximo de $a$ e os limites de $f$ e $g$ existam quando $x \rightarrow a$, então:

$ \lim_{x \rightarrow a}f(x) \le \lim_{x \rightarrow a} g(x) $

Decorre então o importante teorema:

Teorema do confronto

Se $f(x) \le g(x) \le h(x)$, quando $x$ está próximo de $a$ e:

$ \lim_{x \rightarrow a} f(x) = \lim_{x \rightarrow a} h(x) = L $

Então:

$ \lim_{x \rightarrow a} g(x) = L $

EX: use o teorema do confronto para determinar o limite da função

$\lim_{x \rightarrow 0}\left( x^2 \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) \right)$

R:

não é prático resolver este problema por tabela verdade, já que seu sinal oscila cada vez mais a medida que $x$ se aproxima de $a$.

$\bold x$	$\bold{f(x)}$
$1$	$0,841$
$0,5$	$0,454$
$0,2$	$-0,191$
$0,1$	$-0,054$
$0,01$	$-5E-3$
$0,001$	$8E-4$

Logo usamos o teorema do confronto.

$ -1 \le \sin \left( \frac{1}{x} \right) \le 1
$

$ -x^2 \le x^2 \cdot \sin \left( \frac{1}{x} \right) \le x^2 $

$ \lim_{x \rightarrow 0}(-x^2) \le \lim_{x \rightarrow 0}\left(x^2 \cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right)\right) \le \lim_{x \rightarrow 0}(x^2) $

$ 0 \le \lim_{x \rightarrow 0}\left(x^2 \cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right)\right) \le 0 $

$ \lim_{x \rightarrow 0}\left(x^2 \cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right)\right) = 0 $