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Digitado por $\color{black} \text{Diefesson de Sousa Silva - 471942}$
Definição precisa de limite(continuação)
DEFINIÇÃO: seja $f$ uma função definida em algum lugar aberto que contenha o número $a$, exceto, póssivelmente o próprio $a$. Dizemos que o limite de $f(x)$ quando $x$ tende a $a$ é $L$ e escrevemos:
Se para o número $\epsilon > 0$ houver um número $\delta > 0$, tal que:
$\text{se } 0 < |x - a| < \delta$ então $|f(x) - L| < \epsilon$
Ou seja:
O limite da função $f(x)$ quando $x \rightarrow a$ $\color{red}\text{existe se, e somente se}$, há um par de números $(\delta, \epsilon)$ e um valor $L$ que satisfaçam as condições apresentadas.
Consequentemente as definições de limites laterais se tornam:
1. Limite a esquerda.
Se para todo número $\epsilon > 0$, existe um $\delta > 0$, tal que:
$a - \delta < x < a$
Então:
$|f(x) - L_1| < \epsilon$
2. Limite a direita.
Se para todo número $\epsilon > 0$, existe um $\delta > 0$, tal que:
$a < x < a + \delta$
Então:
$|f(x) - L_1| < \epsilon$
EXEMPLO: Demonstrar que
$\lim_{x \rightarrow 3} x^2 = 9$
$\lim_{x \rightarrow 3}(x)^2 \Leftrightarrow$
$3^2 = 9$
Limites infinitos
DEFINIÇÃO: seja $f$ uma função definida em um intervalo aberto que contenha $a$, exceto, possivelmente em $a$ então:
$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \infty$
Significa que, para todo número positivo $M$ haverá um número positivo $\delta$, tal que:
| $0 < | x - a | < \delta_1$ |
Então:
$f(x) > M$
DEFINIÇÃO: Por sua vez, se:
$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = -\infty$
Significa que para todo número negativo $N$ existem um número positivo $\delta_2$, tal que :
$0 < | x - a | < \delta$
$f(x) < N$
Observe que as funções a seguir:
1.
$ \lim_{x \rightarrow 3}\left(\frac{1}{(x-3)^2}\right) = +\infty $
$ f(x) = \frac{1}{(x-3)^2} $
2.
$ \lim_{x \rightarrow 3}\left(\frac{-3}{x^2}\right) = -\infty $
$ g(x) = \frac{-3}{x^2} $
$f(x)$ próximo a $x=3$
| $\bold{x}$ | $\bold{\delta}$ | $\bold{f(x)}$ |
|---|---|---|
| $2,9$ | $0,1$ | $100$ |
| $2,99$ | $0,01$ | $10000$ |
| $2,999$ | $0,001$ | $1000000$ |
| $\bold{x}$ | $\bold{\delta}$ | $\bold{f(x)}$ |
|---|---|---|
| $3,1$ | $0,1$ | $100$ |
| $3,01$ | $0,01$ | $10000$ |
| $3,001$ | $0,001$ | $1000000$ |
$g(x)$ próximo a $x = 0$
| $\bold{x}$ | $\bold{\delta}$ | $\bold{g(x)}$ |
|---|---|---|
| $0,1$ | $0,1$ | $-100$ |
| $0,01$ | $0,01$ | $-10000$ |
| $0,001$ | $0,001$ | $-1000000$ |
| $\bold{x}$ | $\bold{\delta}$ | $\bold{g(x)}$ |
|---|---|---|
| $-0,1$ | $0,1$ | $-100$ |
| $-0,01$ | $0,01$ | $-10000$ |
| $-0,001$ | $0,001$ | $-1000000$ |
Continuidade
Dizemos que uma função é $\color{red}\text{continua em um número } a$, se:
$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)$
Tem-se, então, as condições a seguir:
1. $f(a)$ está definida, $a \in \text{dom}{f}$
2.
$\lim_{x \rightarrow a} f(x) \text{ existe}$
3.
$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)$
EXEMPLO: verifique a função:
$
f(x) =
\begin{cases}
\frac{x^2 - x - x}{x - 2}, \text{ se } x\ne 2
1, \text{ se } x = 2
\end{cases}
$
É continua
$\lim_{x \rightarrow 2} f(x) \Leftrightarrow$
$
\lim_{x \rightarrow 2}\left(
\frac{x^2 - x - x}{x - 2}, \text{ se } x\ne 2
1, \text{ se } x = 2
\right) \Leftrightarrow
$
$ \lim_{x \rightarrow 2} \left( \frac{(x+1)(x-2)}{x-2} \right) \Leftrightarrow $
$ \lim_{x \rightarrow 2} (x + 1) = 3 $