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Digitado por $\color{black} \text{Diefesson de Sousa Silva - 471942}$

Continuidade de funções

Verificamos anteriormente que uma função é continua s as três condições a seguir forem válidas.

$f$ é continua se:

1. $f(a)$ está definida, $a \in \text{dom}{f}$

2.

$\lim_{x \rightarrow a} f(x) \text{ existe}$

3.

$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)$

Temos, conseguente, conceitos sobre continuidade lateral:

DEFINIÇÃO: Uma função $f$ é $\color{red}{\text{continua a direita }}$ em um número $\color{red} a$ se:

$\lim_{x \rightarrow a^+} f(x) = f(a)$

E é $\color{red}\text{continua pela esquerda}$ se:

$\lim_{x \rightarrow a^-} f(x) = f(a)$

Consequentemente temos a definição a seguir:

DEFINIÇÃO: Dizemos que $f$ é continua em $a$ se $f$ for continua simultaneamente á direita e a esquerda.

TEOREMA: se $f$ e $g$ forem continuas em $a$ e $c$ é uma constante real, consequentemente, as funções a seguir também serão continuas em $a$:

1. $f + g$

2. $f - g$

3. $c \cdot f$

4. $f \cdot g$

5. $\dfrac{f}{g}$, se $g(a) \ne 0$

Algumas classes de funções mostradas a seguir são continuas em todos os pontos que pertencem ao seu domínio:

a. Funções polinomiais :

$x^4 - x^2 + 16x$

b. Funções trigonométricas:

$\cos(3x)$

c. Funções exponenciais:

$e^{-3x}$

d. Funções racionais:

$\frac{x^2 - 3x}{x - 1}$

e. Funções trigonométricas inversas:

$\arcsin(x)$

f. Funções raízes:

$\sqrt{x^2 - 3}, \text{ se } x \ge \sqrt{3}$

g. Funções logarítmicas:

$\ln(3x), \text{ se } x > 0$

EXEMPLO: dada a função:

$f(x) = \frac{\sin(x)}{2 + \cos(x)}$

a) A função é continua? em que intervalo?

R: A função é continua para $\R$, pois $2 + \cos(x)$ nunca é igual a 0

b) Determinar

$ \lim_{x \rightarrow \pi} \left( \frac{\sin(x)}{2 + cos(x)} \right) $

R:

$ \frac {\lim_{x \rightarrow \pi} (\sin(x))} {\lim_{x \rightarrow \pi}(2) + \lim_{x \rightarrow \pi}(\cos(x)} \Leftrightarrow $

$ \frac{0}{2 - 1} = 0 $

TEOREMA: Seja $f$ $\color{red}\text{continua}$ em $b$ e:

$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = b$

Então:

$ \lim_{x \rightarrow a}(f(g(x))) = f(b) $

Ou seja:

$ \lim_{x \rightarrow a}(f(g(x)) = f(\lim_{x \rightarrow a}g(x)) $

EXEMPLO: Calcular

$\lim_{x \rightarrow a} \sqrt[n]{x^2}$, com $a$ positivo inteiro:

$\lim_{x \rightarrow a} \sqrt[n]{x^2} \Leftrightarrow$

$\sqrt[n]{\lim_{x \rightarrow a} (x^2)} \Leftrightarrow$

$\sqrt[n]{\lim_{x \rightarrow a} (x)^2} \Leftrightarrow$

$\sqrt[n]{a^2}$

TEOREMA: se $g$ é continua em $a$ e $f$ é continua em $g(a)$, então a função composta $(f \circ g)(x)$ é continua em $a$

EXEMPLO: se $f(x) = \dfrac{1}{x - 1}$, $f$ não é continua em $x = 1$ e $g(x) = \dfrac{2}{x}$, não é continua em $x = 0$. Porém, $g(1) = 2$ e $f$ é continua em $x = 2$. Assim $f(g(x))$ é continua em $x = 1$

TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO

Supondo que $f$ seja continua em um intervalo $[a, b]$ e seja $N$um número qualquer entre $f(a)$ e $f(b)$, tal que $f(a) \ne f(b)$. Logo existe um número $c \in [a, b]$ tal que $f(c) = N$.

EXEMPLO: Mostrar que existe uma raíz da equação $4x^3 - 6x^2 + 3x - 2 = 0$entre $x = 1$ e $x = 2$

Limites no infinito: Assíntotas horizontais

Imaginesmos funções que: Dado um intervalo $(-\infty, a)$ ou $(a, +\infty)$. Se observarmos o comportamento da função $f(x)$ nesses intervalos, quando $x \rightarrow -\infty$ ou $x \rightarrow +\infty$, é possivel que o valor de $f(x)$ tenda a um número real, ou seja:

$ \lim_{x \rightarrow -\infty} = L_1 \text{ ou } \lim_{x \rightarrow +\infty} = L_2 $

Dizemos que as retas $l_1$ e $L_2$, caso existam, são assintotas horizontais.