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Digitado por $\color{black} \text{Diefesson de Sousa Silva - 471942}$

Assintotas verticais e horizontais

Assintota vertical

É todo valor de $x = a$ que implica em:

$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \pm \infty$

Assintota horizontal

São os valores para os quais convergem:

$ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = L_1 \text{ e } \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = L_2 $

Algumas assintotas recorrentes

$f(x) = \frac{1}{x^r}, x > 1 \text{ e } r > 0$

$ \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x) = 0 $

$g(x) = e^x \text{ e } h(x) = e^{-x}$

$ \lim_{x \rightarrow -\infty} g(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} h(x) = 0 $

Limites no infinito

Usamos a notação:

$\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = +\infty$

Quando $f(x)$ cresce a medida que $x$ se torna grande. Analogamente tem-se:

$ \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x) = +\infty
\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = -\infty
\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x) = -\infty
$

EXEMPLO: Determinar os limites

a)

$\lim_{x \rightarrow +\infty}(x^2 - x)$

R: $+\infty$

b)

$ \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac {x^2 - x} {3 - x} $

R: $-\infty$

Definição precisa de assintota horizontal

Seja $f$ uma função definida em um intervalo $(-\infty, a)$. Então:

$ \lim_{x \rightarrow -\infty} = L $

Implica que para todo $\epsilon > 0$ existe um número $N$ tal que:

Se $x < N$ então $

f(x) - L

= \epsilon$

Por sua vez se em um intervalor $(a, +\infty)$ é observado que:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$

Significa que, para todo positivo $M$, existe um correspondente positivo $N$, tal que:

Se $x > N$ então $f(x) > M$

EXERCÍCIO: Determine as assintotas horizontais e verticais das funções.

a) $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 2}$

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Assintota vertical: $x=2$

Assintota horizontal:

Transformando a função f(x), temos:

$\frac{2x + 1}{x - 2} \Leftrightarrow$

$\frac{x (2 + \frac{1}{x})}{x (1 - \frac{2}{x})}\Leftrightarrow$

$\frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}}$

E aplicando o limite:

$ \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} \right) \Leftrightarrow $

$ \frac{2 + \frac{1}{\infty}}{1 - \frac{2}{\infty}} \Leftrightarrow $

$ \frac{2}{1} \Leftrightarrow $

$y=2$

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b) $g(x) = \dfrac{x^4 + 1}{-x^4 + x^2}$

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Assintota vertical:

$\frac{x^4 + 1}{-x^4 + x^2} \Leftrightarrow$

$\frac{x^4 + 1}{x^2(-x^2 + 1)}$

Logo fica evidente que suas raízes são:

$x = -1, 0, 1$

Assintota horizontal:

Transformando a função, temos:

$\frac{x^4 + 1}{-x^4 + x^2} \Leftrightarrow$

$\frac{x^4(1+ \frac{1}{x^4})}{x^4(-1 + \frac{1}{x^2})} \Leftrightarrow$

$\frac{1+ \frac{1}{x^4}}{-1 + \frac{1}{x^2}} \Leftrightarrow$

E aplicando o limite:

$ \lim_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{1+ \frac{1}{x^4}}{-1 + \frac{1}{x^2}} \right) \Leftrightarrow $

$\frac{1}{-1} \Leftrightarrow$

$y = -1$

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